Paul Langevin et le mouvement brownien, Jean-Pierre Kahane*

Une histoire de la premiÚre équation différentielle stochastique

Paul Langevin, physicien et homme engagĂ© dans les grands mouvements intellectuels et sociaux du XXe siĂšcle (cf. Progressistes n°3), est aussi le mathĂ©maticien qui va, dans une note de 1908 Ă  l’acadĂ©mie des sciences, retrouver par une mĂ©thode simple les Ă©quations d’Einstein sur le mouvement brownien. Une histoire curieuse et actuelle Ă  bien des Ă©gards.

Il tire son nom du naturaliste Ă©cossais Robert Brown (1773-1858), Ă  cause d’une sĂ©rie d’articles parus en 1828. Il s’agit d’observations faites au microscope en juin, juillet et aoĂ»t1827 sur des particules de pollen qui, en suspension dans l’eau, sont agitĂ©es d’un mouvement erratique et perpĂ©tuel. Brown n’était pas le premier Ă  observer ce mouvement perpĂ©tuel, et l’hypothĂšse courante Ă©tait qu’il Ă©tait le rĂ©sultat d’une force vitale dont Ă©taient pourvues les particules. Brown observe en scientifique, en faisant varier les paramĂštres, y compris la composition des particules, organiques et inorganiques, et il arrive Ă  la conclusion qu’il n’y a en cause aucune force vitale. L’apport essentiel du biologiste est d’avoir montrĂ© que le phĂ©nomĂšne n’était pas du ressort de la biologie.

DE LA BIOLOGIE À LA PHYSIQUE

L’énigme passe Ă  la physique, et plusieurs physiciens s’y sont intĂ©ressĂ©s au cours du XIXe siĂšcle. Alors que l’existence des atomes Ă©tait loin d’ĂȘtre Ă©tablie, l’hypothĂšse a Ă©tĂ© exprimĂ©e que ce mouvement pouvait ĂȘtre causĂ© par le choc sur les particules en suspension de molĂ©cules animĂ©es de grandes vitesses. La thermodynamique de Boltzmann, expliquant par l’agitation molĂ©culaire la propagation de la chaleur dans les gaz, donnait un certain crĂ©dit Ă  cette hypothĂšse, mais elle se heurtait Ă  une opposition farouche des anti-atomistes.

Une date clĂ© est 1905, l’annĂ©e «miraculeuse» de la physique, au cours de laquelle le jeune Albert Einstein Ă©tablit les bases de la thĂ©orie de la relativitĂ©, dĂ©couvre la raison de l’effet photoĂ©lectrique en revenant Ă  la conception corpusculaire de la matiĂšre, et Ă©tablit les Ă©quations du mouvement brownien. L’idĂ©e de ces Ă©quations Ă©tait dans l’air; en mĂȘme temps qu’Einstein et indĂ©pendamment, le Polonais Smoluchowski Ă©tablissait d’une autre maniĂšre des Ă©quations voisines. En vĂ©ritĂ©, Einstein a publiĂ© trois articles qui s’enchaĂźnent. Le premier est une invitation aux expĂ©rimentateurs: il s’agit de tester si la thĂ©orie cinĂ©tique molĂ©culaire de la chaleur, Ă©noncĂ©e pour les gaz par Boltzmann, s’applique aux liquides; elle entraĂźne un mouvement de particules en suspension qui doit ĂȘtre observable; Einstein fait la thĂ©orie du mouvement brownien sans le connaĂźtre. Le second article dit que l’expĂ©rience est faite, c’est le mouvement brownien; mais de nouvelles expĂ©riences doivent permettre de mesurer la taille des molĂ©cules, c’est-Ă -dire de calculer le nombre d’Avogadro, le nombre de molĂ©cules rĂ©elles dans une mole de liquide (18 grammes pour l’eau). Le dernier reprend l’étude en partant du mouvement brownien.

UN NOUVEL OUTIL MATHÉMATIQUE

Les Ă©quations d’Einstein et de Smoluchowski sont les mĂȘmes, Ă  un facteur numĂ©rique prĂšs. Elles expriment un fait curieux : en moyenne, ce ne sont pas les dĂ©placements, mais leurs carrĂ©s, qui sont proportionnels au temps Ă©coulĂ©. Les dĂ©placements Ă  venir sont indĂ©pendants du passĂ©, et ils suivent une loi de Gauss.

C’est donc un nouvel objet mathĂ©matique fourni par la nature. Mais c’est d’abord un merveilleux champ d’étude pour les physiciens expĂ©rimentateurs. En France, Jean Perrin rĂ©alise le programme d’Einstein, obtient une valeur pour le nombre d’Avogadro qui recoupe bien ce qu’on pouvait obtenir par des mĂ©thodes plus directes, et dĂ©crit de façon Ă©loquente et lumineuse l’extrĂȘme irrĂ©gularitĂ© des trajectoires des particules et le fait qu’apparemment elles n’ont de tangente en aucun point; « C’est un cas », dit-il, « oĂč il est vraiment naturel de penser Ă  ces fonctions continues sans dĂ©rivĂ©es que les mathĂ©maticiens ont imaginĂ©es, et que l’on regardait Ă  tort comme de simples curiositĂ©s mathĂ©matiques, puisque l’expĂ©rience peut les suggĂ©rer.» Jean Perrin dĂ©crit son travail dans un livre superbe dont on vient de cĂ©lĂ©brer le centenaire,

« Les Atomes. » C’est la validation sans conteste de la thĂ©orie atomique – qui cependant a tardĂ© encore 50 ans Ă  ĂȘtre enseignĂ©e autrement que comme une « hypothĂšse » aux candidats aux grandes Ă©coles scientifiques françaises.

L’objet mathĂ©matique, un processus gaussien stationnaire Ă  accroissements indĂ©pendants, Ă©tait lĂ  en 1920 comme l’expression d’une rĂ©alitĂ© physique. Pouvait-on lui donner une rĂ©alitĂ© mathĂ©matique, c’est-Ă -dire le construire, valider sa dĂ©finition et en tirer des rĂ©sultats dĂ©montrĂ©s? Ce fut l’Ɠuvre de Norbert Wiener en 1923, dans un article monumental qui se rĂ©fĂšre explicitement Ă  la phrase de Jean Perrin que je viens de citer. Norbert Wiener construit donc une fonction continue alĂ©atoire ayant les propriĂ©tĂ©s requises, et il l’appelle « the fundamental random function », la fonction alĂ©atoire fondamentale. Les autres mathĂ©maticiens l’appellent « le processus de Wiener » et le notent W(t). Comme l’avait devinĂ© Perrin, elle n’est «presque sĂ»rement» dĂ©rivable nulle part.

LA FONCTION B(t)


En France, Paul LĂ©vy s’empare du sujet et en dĂ©couvre la prodigieuse richesse. Il donne au processus de Wiener le nom de « mouvement brownien », et c’est dĂ©sormais le mouvement brownien des mathĂ©maticiens. Sa notation usuelle devient B(t). Il s’avĂšre au cours du temps qu’il est liĂ© Ă  presque toutes les parties des mathĂ©matiques, et que c’est un outil et un objet intĂ©ressant et utile dans beaucoup de sciences et de pratiques. C’est une idĂ©alisation non seulement du mouvement observĂ© par Brown, mais d’une foule de phĂ©nomĂšnes, promenades au hasard, cours de la Bourse, niveau des barrages etc. Aujourd’hui, quand des physiciens parlent du mouvement brownien, c’est d’abord au mouvement brownien des mathĂ©maticiens qu’ils pensent. Et inversement, la physique continue Ă  fournir aux mathĂ©maticiens des problĂšmes et des idĂ©es sur l’objet mathĂ©matique en question. On pourrait en dire beaucoup plus sur le mouvement brownien et son histoire, mais il est temps de regarder la relation de Langevin au brownien.

LA NOTE DE 1908 ET L’ÉQUATION DE LANGEVIN.

L’occasion de la note aux comptes rendus de l’AcadĂ©mie des sciences de 1908 est l’écart entre les formules d’Einstein et de Smoluchowski. Langevin reprend les calculs de Smoluchowski, les rectifie et obtient la formule d’Einstein. Puis il dĂ©veloppe sa propre approche, que je peux exposer ainsi.

D’abord, contrairement Ă  l’idĂ©alisation que nous venons de voir avec Perrin et Wiener, les particules browniennes ont une vitesse et une Ă©nergie, qui est la moitiĂ© du produit de leur masse par le carrĂ© de leur vitesse. En supposant que toutes les particules ont la mĂȘme masse, leur Ă©nergie moyenne est la moitiĂ© du produit de cette masse par la moyenne des carrĂ©s de leurs vitesses. Or la vitesse d’une particule est soumise Ă  une Ă©quation exprimant le thĂ©orĂšme fondamental de la dynamique : l’accĂ©lĂ©ration est proportionnelle Ă  la force exercĂ©e. En nĂ©gligeant la gravitĂ©, la force exercĂ©e est Ă©videmment la force de freinage tenant Ă  la viscositĂ© du liquide. Mais si l’on s’en tient Ă  cette Ă©vidence, la vitesse dĂ©croĂźt exponentiellement et le mouvement s’arrĂȘte trĂšs rapidement. Or le mouvement se poursuit. Il y a donc une force additionnelle X, due aux chocs des molĂ©cules du liquide, dont, dit Langevin, « nous savons qu’elle est indiffĂ©remment positive et nĂ©gative, et sa grandeur est telle qu’elle maintient l’agitation de la particule. » L’équation obtenue en ajoutant X est « l’équation de Langevin ».

Il est remarquable qu’avec ce minimum d’hypothĂšses sur X Langevin parvienne, en quelques lignes, Ă  une formule qui, pour des intervalles de temps pas trop petits (disons, supĂ©rieurs Ă  une microseconde), se ramĂšne Ă  l’équation d’Einstein.

C’est l’exposĂ© le meilleur que je connaisse de ta thĂ©orie physique du mouvement brownien.

LA MISE EN FORME DE L’ÉQUATION DE LANGEVIN ET LE DÉVELOPPEMENT DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES

La mise en forme mathĂ©matique est venue plus tard, en 1942, avec le probabiliste J.-L. Doob. Doob a choisi pour X ce que nous appelons le bruit blanc, et qui, formellement, est la dĂ©rivĂ©e du processus de Wiener (qui, on le sait, n’admet pas de dĂ©rivĂ©e au sens usuel). Sous cette forme, l’équation de Langevin est l’archĂ©type des Ă©quations diffĂ©rentielles stochastiques, dont la thĂ©orie et la pratique se sont considĂ©rablement dĂ©veloppĂ©es depuis 1942. Intuitivement, il s’agit d’évolutions bruitĂ©es, dont les solutions sont des fonctions alĂ©atoires; on en trouve aujourd’hui partout.

L’équation de Langevin, sous la forme donnĂ©e par Doob, amĂšne Ă  rĂ©flĂ©chir Ă  diffĂ©rents niveaux.

1. D’abord, peut-on Ă©crire sa solution? Oui, et elle s’appelle le processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Elle reprĂ©sente la vitesse d’une particule brownienne.

2. N’y a-t-il pas un cercle vicieux: partir de la vitesse pour Ă©tablir une Ă©quation dont la solution est non dĂ©rivable, puis partir de cette solution non dĂ©rivable pour obtenir une Ă©quation dont la solution est la vitesse?

3. Non, il y a deux modĂšles incompatibles,c’est tout, et chacun joue un rĂŽle dans l’autre. Il y a le processus de Wiener, qu’on appelle un peu abusivement mais de maniĂšre commode le mouvement brownien, et le processus d’Ornstein-Ulhenbeck, qui reprĂ©sente la vitesse d’une particule brownienne. L’équation de Langevin Ă©tablit le rapport entre les deux dans les deux sens: partir de la vitesse pour Ă©tablir l’équation du mouvement qui n’a pas de vitesse, et partir du mouvement qui n’a pas de vitesse pour Ă©tablir l’équation donnant la vitesse.

4. C’est aussi affaire d’échelle: on peut observer le mouvement, mais il est extrĂȘmement difficile d’observer la vitesse, il faut descendre au-dessous de la nanoseconde.

5. C’est au cours des annĂ©es 1930-1940 que se sont formalisĂ©es les idĂ©es sur le bruit blanc et les Ă©quations diffĂ©rentielles stochastiques. Les articles de cette Ă©poque parlent constamment de l’équation de Langevin, mais j’en connais un seul qui en donne la rĂ©fĂ©rence. À l’indice des citations, la note aux comptes rendus de Langevin n’aurait eu aucun impact. Aussi bien est-elle souvent ignorĂ©e des auteurs qui ont Ă©crit sur Langevin.

Il faut dire que Langevin est inĂ©puisable comme source d’idĂ©es et de rĂ©flexion. Ce long article Ă©tait l’occasion d’en dĂ©voiler un aspect relativement peu connu.

JEAN-PIERRE KAHANE est mathĂ©maticien, membre de l’AcadĂ©mie des sciences, Professeur Ă©mĂ©rite Ă  l’UniversitĂ© Paris Sud-Orsay, et directeur de la revue Progressistes.

Cet article fait suite Ă  l’article sur Paul Langevin publiĂ© dans Progressistes N°3

Retrouvez Jean-Pierre Kahane dans l’émission Continent sciences du 10 fĂ©vrier 2014 sur France Culture : Le « mouvement brownien » et les mathĂ©matiques. En Ă©coute libre.

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