En avoir ou pas : les plaisirs gratuits des nombres premiers, OLIVIER GEBUHRER*

La thĂ©orie des nombres est incontournable pour le monde numĂ©rique, et plus particuliĂšrement pour tout ce qui est sĂ©curitĂ© informatique, mais c’est aussi un jardin dans lequel de nombreux chercheurs cultivent des fleurs rares.  

*OLIVIER GEBUHRER est mathĂ©maticien. Il est maĂźtre de confĂ©rences honoraire Ă  l’université Louis-Pasteur de Strasbourg. (L’auteur remercie chaleureusement Jean-Pierre Kahane pour une relecture critique attentive).


Dans son roman le Nom de la rose, Umberto Eco fait dire au moine criminel : « [
] il n’y a pas de progrĂšs; la connaissance n’est qu’une infinie mais sublime rĂ©capitulation. » Allons y voir. LES « NOMBRES ENTIERS ». 

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Combien de moutons ? Un problĂšme concret et ancien impliquant le maniement des nombres entiers. Ainsi en est-il des premiers bergers cherchant Ă  quantifier leur troupeau.

L’Univers est nombre; telle Ă©tait la philosophie grecque antique au temps de sa splendeur ; par « nombre », il faut entendre « nombre entier ». D’oĂč sort pareille conception? Regardons un ciel mĂ©diterranĂ©en par un soir clair de dĂ©cembre, puis revenons sur terre: troupeaux, herbe des champs, esclaves, temples, sable des plages, rien qui ne renvoie Ă  cette Ă©vidence qui n’est plus du tout celle d’aujourd’hui: l’Univers d’aujourd’hui institue le rĂšgne du zigzag, des citoyen(ne)s se mouvant Ă  vitesse rapide en foules pressĂ©es oĂč le regard ne discerne plus sans effort les individus ; plus d’échanges de quantitĂ©s discrĂštes ou de fractions de ces quantitĂ©s en quantitĂ©s Ă©quivalentes ; taux de change exprimĂ©s en nombres Ă  virgule. Les cours de la Bourse ont envahi notre imaginaire collectif ; nous sommes passĂ©s d’une civilisation statique Ă  une civilisation dynamique au mouvement largement imprĂ©visible: les nombres entiers se sont effacĂ©s. Origine des mathĂ©matiques, les nombres entiers restent un des mystĂšres de la connaissance et toute question mathĂ©matique, au sein des thĂ©ories les plus sophistiquĂ©es, s’y confronte tĂŽt ou tard. Le « socle » de l’école chĂšre Ă  la droite politique et Ă  une gauche incapable de penser le temps prĂ©sent se condense dans la formule « lire, Ă©crire, compter ». On peut additionner des nombres entiers, les multiplier sans les quitter ; on peut aussi les comparer. VoilĂ  une idĂ©e qui sort du « socle » et donne un aperçu de l’arriĂ©ration mentale de cet arsenal poussiĂ©reux de la droite en matiĂšre d’éducation, que le PS ne parvient pas Ă  dĂ©passer. On peut trouver cette idĂ©e banale ; elle ne l’est pas ; les nombres entiers viennent munis d’un ordre naturel, qui est tout sauf une banalitĂ©. Trouvez donc la plus petite fraction strictement comprise entre 0 et 1, vous verrez, c’est Ă©difiant. Les nombres entiers constituent le prototype d’un ensemble muni d’un ordre qui est le paradis des types d’ordre; quittez les entiers, vous tombez du paradis. Y remonter est impossible, mais on peut en trouver des substituts ; ce ne serait pas si mal pour une politique de gauche, mais c’est hors sujet.

EUCLIDE 

De quand date l’idĂ©e selon laquelle l’ensemble des nombres entiers Ă©tait infini ? Euclide ne considĂšre que des collections finies, mais le fait que l’ensemble des nombres entiers soit infini Ă©tait peut-ĂȘtre « Ă©vident » pour lui ; qu’il ne traite que de collections finies n’était qu’une commoditĂ©. En tout cas, on s’en convainc en ajoutant 1 Ă  tout nombre entier prescrit. L’examen de la succession des nombres et l’identification de la paritĂ© lui font se pencher sur la question de la division ; comme on sait, c’est la catastrophe; mais pas pour Euclide. Il met au point un algorithme qui lui garantit que son itĂ©ration s’arrĂȘte au bout d’un nombre calculable d’essais; le nombre d’essais s’arrĂȘte car il observe que s’il dispose d’une collection d’entiers rangĂ©s par ordre dĂ©croissant il en existe un plus petit que tous les autres ; c’est la clĂ© du paradis de l’ordre des nombres entiers. Qu’en est-il des nombres impairs ? 9 est le produit de 3 par lui-mĂȘme; en revanche, 5 n’est le produit d’aucun entier antĂ©rieur sauf 1, et il en est de mĂȘme de 2 (un drĂŽle de nombre pair celui-lĂ  !), 3, 7
 Les nombres premiers font ainsi leur apparition. Euclide comprend que lĂ  gĂźt un secret de fabrication, et il dĂ©montre que tout nombre entier est produit de composants premiers – y compris 2, unique nombre premier pair – et que ce produit est uniquement dĂ©terminĂ© Ă  l’ordre prĂšs des composants. Poursuivons: sur la piste de la clĂ© des briques de l’univers, on se demande si, parmi les nombres premiers, il en existe un plus grand que tous les autres. DĂ©ception. La rĂ©ponse est nĂ©gative : il suffit de multiplier tous les nombres premiers Ă  disposition et d’ajouter 1 au rĂ©sultat ; on obtient ainsi un nouveau nombre entier qui ne contient comme composant aucun des nombres prĂ©cĂ©dents, sauf 1 ; c’est beaucoup moins Ă©vident Ă  voir mais c’est vraiÂč ; il y a donc une infinitĂ© de briques premiĂšres qui permettent par produits d’obtenir tous les entiers.

THÉORIE DES NOMBRES 

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La distribution des nombres premiers de 1 à 76 800, de gauche à droite et de haut en bas. Un pixel noir signifie que le nombre est premier alors qu’un blanc signifie qu’il ne l’est pas.

AprĂšs ces dĂ©veloppements extraordinaires, l’histoire de la pensĂ©e marque le pas. On ne sait pas dĂ©cider Ă  vue d’oeil si un nombre impair est premier, et aujourd’hui on ne dispose d’aucun critĂšre pour ce faire ; mais surtout les nombres premiers se rencontrent de façon erratique dans la succession des entiers. Anarchie ? Ils se rarĂ©fient; chaque segment de dix nombres entiers contient de moins en moins de nombres premiers (ce constat n’est pas exact « au dĂ©but »). Percer le mystĂšre de la rĂ©partition des nombres premiers Ă©quivaudrait Ă  avoir une connaissance intĂ©grale de principe de l’ensemble des mathĂ©matiques et Ă  assister Ă  leur mort en tant que science; on n’est donc pas prĂšs d’y parvenir. Le premier rĂ©sultat quantitatif relatif Ă  cette rarĂ©faction est dĂ» Ă  Legendre (XVIIIe siĂšcle). En Chine, la thĂ©orie des nombres apparaĂźt dĂšs le IVe siĂšcle de 35 notre Ăšre; elle prend une direction qui ne sera exploitĂ©e, en un sens, qu’avec la cryptologie contemporaine et les ordinateurs hyperpuissants. Les affaires reprennent en Europe, sĂ©rieusement, avec Fermat, Bernoulli, Euler ; Gauss viendra plus tard. L’arithmĂ©tique comme science est nĂ©e; elle se prolonge aujourd’hui en « thĂ©orie des nombres » ; celle-ci se nourrit de toutes les mathĂ©matiques, y inclus la thĂ©orie des probabilitĂ©s ; mais on peut dĂ©jĂ  passer sa vie en arithmĂ©tique avec l’unique connaissance d’Euclide et un peu de Gauss ; c’est ce que l’on appelle la thĂ©orie Ă©lĂ©mentaire des nombres. OĂč chercher et que chercher ? Au dĂ©part, c’est-Ă -dire au renouveau de l’esprit de curiositĂ©, Fermat, Mersenne et beaucoup d’autres s’« amusent » avec des questions baroques; chacun de nous peut en fabriquer mais
 Leurs questions baroques ne sont pas de mĂȘme nature. Au hasard : peut-on trouver un triangle rectangle dont les longueurs des cĂŽtĂ©s soient des nombres premiers ? La rĂ©ponse est positive si on remplace « premier » par « entier » (exemple : 3, 4, 5), mais nĂ©gative pour la question posĂ©e : ce n’est pas trop compliquĂ© Ă  voir.

CURIOSITÉS ET MERVEILLES 

Parmi les curiositĂ©s merveilleuses, citons celle-ci : nous disposons d’une collection de points dans le plan telle que la distance entre deux quelconques de ces points soit un nombre entier. Si la collection est infinie, il n’y a pas le choix : tous les points sont alignĂ©s, alors que c’est faux pour les collections finies. L’exemple du triangle rectangle de cĂŽtĂ©s 3, 4, 5 suffira iciÂČ. Les nombres entiers s’additionnent; cela dit, la somme de deux nombres premiers plus grands que 2 est paire, et donc n’est pas un nombre premier. Tout nombre pair est-il somme de deux nombres premiers ? On ne sait pas (conjecture de Goldbach XVIIIe siĂšcle) ; la diffĂ©rence de deux nombres premiers est paire; ne parlons pas du produit : les nombres premiers n’ont pas de « structure » apparente et peutĂȘtre, vraisemblablement, pas de structure du tout. D’oĂč l’intervention de la thĂ©orie des probabilitĂ©s. Dans la succession des nombres entiers, on rencontre 3 et 5, puis 5 et 7, et on peut poursuivre; on rencontre ainsi « pas mal » de couples de nombres premiers jumeaux, c’est-Ă -dire dont la diffĂ©rence entre le plus grand et le plus petit est 2. En existe-t-il une infinitĂ© ? On ne sait pas. Un des grands problĂšmes ouverts. Beaucoup plus tard (XIXe siĂšcle), Bernhard Riemann Ă©crivit un unique article sur la thĂ©orie des nombres; il Ă©tait prĂ©occupĂ© par les nombres premiers et avait une idĂ©e extraordinaire sur leur rarĂ©faction ; c’est alors que Fiorasotte³ entra dans son bureau et demanda impĂ©rieusement: «Alors ça vient, M.Riemann? » On peut seulement imaginer que Riemann entra dans une colĂšre noire et que l’intruse perdit le goĂ»t des questions stupides. Reprenant son fil initial, il dĂ©couvrit une question qui lui parut ĂȘtre la clĂ© de la comprĂ©hension des nombres premiers, mais il ne parvint pas Ă  la rĂ©soudre ; il s’en dĂ©tourna ensuite. Elle est encore ouverte aujourd’hui et porte le nom fameux de « conjecture de Riemann ». Plus tard, au dĂ©but du XXe siĂšcle, Jacques Hadamard revint sur cette question, et cette fois prouva ce qu’on appelle aujourd’hui la loi de rarĂ©faction des nombres premiers. Mais avec ce rĂ©sultat on est encore bien loin de la conjecture de Riemann
 « Et au fond, Ă  quoi ça sert tout ça ? » (Jacques PrĂ©vert)


ÂčAppelons A le nombre obtenu en faisant le produit de tous les nombres premiers, soit q un des nombres premiers constituants ; posons B = A + 1 ; alors B = Nq + 1 (avec A = Nq) et 1 est sĂ»rement strictement plus petit que q ; de la sorte on voit que Nq + 1 est le rĂ©sultat de la division euclidienne de B par q ; donc 1 est le reste de cette division et B n’est divisible par aucun nombre premier antĂ©rieur, donc est premier ; cette preuve donne un moyen de construire autant de nombres premiers qu’on veut, mais il est Ă©vident qu’on est loin de les obtenir tous. Noter par ailleurs que, par exemple, cette rĂšgle appliquĂ©e Ă  3 × 5 = 15 ; 15 + 1 = 16 ne fournit pas un nombre premier, et tous les autres produits sont de mĂȘme des nombres qui ne sont pas premiers. Il est essentiel de considĂ©rer 2 comme nombre premier (il n’est divisible que par lui-mĂȘme et 1), et l’incorporer Ă  la liste, comme on vient de le voir, est tout sauf une commoditĂ© mĂȘme s’il paraĂźt exotique.

ÂČ On peut en fait montrer qu’il existe une disposition non alignĂ©e pour toute collection finie de points satisfaisant la
condition indiquée.

³ Personnage oubliĂ© de la commedia dell’arte qui entretient avec un secrĂ©taire d’État Ă  l’Enseignement supĂ©rieur
et à la Recherche actuel un rapport lointain mais ne devant, cependant, rien au hasard.

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